Talaga bang umiiral ang mga numero? Pilosopiya, kasaysayan, at pormal na konstruksyon

pagtanggap sa bagong kasapi » Kultura » Talaga bang umiiral ang mga numero? Pilosopiya, kasaysayan, at pormal na konstruksyon

Kapag gumagamit tayo ng mga numero para malaman ang oras, magbayad sa supermarket, o tingnan ang balanse sa bangko, binabalewala natin ang mga ito, na parang kasing totoo ng mga susi ng ating bahay. Ngunit kung iisipin nating mabuti, mas nagiging kumplikado ang mga bagay-bagay: Sa anong diwa talaga "umiiral" ang mga numero?Ang mga ito ba ay isang bagay na ating natutuklasan, tulad ng mga planeta, o isang bagay na ating iniimbento, tulad ng mga tauhan sa isang nobela?

Pinagsasama ng debateng ito ang pilosopiya, kasaysayan, at matematika sa isang kamangha-manghang paraan. Sa paglipas ng mga siglo, iba't ibang sagot ang iminungkahi: mula sa mga naniniwala na ang mga numero ay bahagi ng isang uri ng "abstract world" na hiwalay sa atin, hanggang sa mga naniniwala na ang mga ito ay wala nang iba pa mga simbolikong kagamitan na ating nilikha para sa pagbibilang, pagsukat, at pangangatwiran. Kasabay nito, lumilitaw ang mga ideya tulad ng mga aksioma ni Peano, teorya ng set, ang pormal na konstruksyon ng mga natural, integer, rasyonal, irrasyonal, at totoong numero, at maging ang mga sikat na limitasyon na natuklasan ni Gödel.

Ano ang ibig sabihin ng "umiiral" ang isang numero?

Bago natin talakayin ang mga pormula at aksioma, mahalagang linawin muna kung ano talaga ang ibig sabihin ng "pag-iral." Ang pag-iral ng isang talahanayan ay hindi katulad ng pag-iral ni Sherlock Holmes o ng... isang numerong tulad ng 24Ang mesa ay isang pisikal na bagay; si Holmes ay isang kathang-isip ngunit mahusay ang pagkakalarawan ng karakter; ang 24, sa kabilang banda, ay hindi kumukuha ng espasyo, walang bigat, at hindi maaaring itago sa isang drawer.

Ang isang paraan ng paglapit sa isyu, na nagmula kay Plato, ay nagpapatunay na ang mga numero ay mga abstraktong entidad na naninirahan sa isang di-pisikal na sakopHindi sila gawa sa materya, ngunit ang mga ito ay kasing "totoo" ng katarungan o kagandahan sa pilosopiyang Platoniko. Mula sa pananaw na ito, ang mga matematiko ay hindi nag-iimbento ng mga numero, sa halip ay tinutuklas ang mga ito: ang bilang na 24 ay "naroon" kahit walang nakaisip nito.

Iba ang argumento ng ibang mga pilosopo at matematiko: mas gusto ng mga numero mga simbolo at konseptwal na konstruksyon na aming binubuo upang imodelo ang mundo. Hindi sila iiral sa labas ng ating mga teorya at kumbensyon, bagama't kapag naitatag na ang mga patakarang iyon, ang mga resulta ng matematika ay magiging kasinghigpit ng gusto natin. Sa pamamaraang ito, ang 24 ay resulta ng isang sistema ng mga simbolo at operasyon na ating napagkasunduan, hindi isang piraso ng isang malayang uniberso ng matematika.

Mayroon ding mga kawili-wiling pansamantalang panukala: ikinakatuwiran ng ilang mga may-akda na ang isang numero ay isang uri ng abstraktong bagay na may kakaibang katangian na "kung maaari itong umiral, ito ay iiral"Sa madaling salita, ang isang konsepto ay kailangan lamang maging posible at mahusay na natukoy upang magkaroon ng isang tiyak na uri ng lohikal o matematikal na pag-iral. Ang ganitong paraan ng pagsasalita ay nagbibigay-daan sa atin na isama hindi lamang ang mga numero, kundi pati na rin ang mga set, area, function, geometric figure, at marami pang ibang entidad na ginagamit natin araw-araw sa matematika.

Mula sa alinman sa mga puntong ito, ang pinagbabatayan na problema ay magkatulad: Paano naiiba ang pagkakaroon ng isang numero sa pagkakaroon ng isang kathang-isip na karakter?Alam ng lahat kung ano ang numero 5 at kung sino si Sherlock Holmes, ngunit hindi natin iniuugnay ang parehong uri ng realidad sa kanila. Ang diskusyon, na malayo sa natatapos, ay kadalasang nagbubunga ng mas maraming tanong kaysa sa sinasagot.

Mga numero, simbolo at kahulugan: ano talaga ang "2"?

Kung aalisin natin ang mga bagay na ipinagwawalang-bahala natin at titingnan ang mga numero nang obhetibo, ang unang bagay na makikita natin ay mga nakasulat na simbolo o tunog kapag binibigkasAng "2" na isinusulat natin sa papel, ang "dalawa" na sinasabi natin nang malakas, o ang Romanong "II" ay hindi ang mismong numero, kundi mga representasyon lamang.

Ang isang simbolo, sa ganang sarili nito, ay isang simpleng hagod o ingay na walang nilalaman. Ang nagbibigay ng kahulugan dito ay ang sama-samang kasunduan: napagpasyahan namin na ang stroke na ito ay kumakatawan sa isang dami, isang order, isang sukatTulad ng mga letra ng alpabeto, na walang kahulugan sa kanilang sarili, ngunit pinagsama-samang bumubuo ng mga salitang iniuugnay natin sa mga ideya, bagay, o kilos.

Ang simbolikong pananaw na ito ay nagpapakita ng isang mahalagang bagay: Walang "mahiwagang" tungkol sa konkretong anyo ng mga numeroMaaari tayong gumamit ng ganap na magkakaibang mga simbolo, at hangga't nagkakasundo tayo sa parehong mga patakaran at kahulugan, gagana pa rin ang matematika. Sa katunayan, sa buong kasaysayan ay maraming mga sistema ng numero, na may ganap na magkakaibang mga simbolo at patakaran, ngunit lahat sila ay nagsisilbing bilang, sukatin, at kalkulahin.

Gayunpaman, ang pang-araw-araw na paggamit ng mga numero ay higit pa sa simpleng pagsusulat ng mga ito: Ang kapangyarihan ng mga numero ay nagiging maliwanag kapag ginagamit natin ang mga ito.Pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, pagpapalakas... Ang lahat ng mga operasyong ito ay nagbibigay-daan sa atin na magmodelo ng mga totoong penomeno: mula sa paghahati ng isang cake hanggang sa pagdidisenyo ng isang GPS navigation system o pagkalkula ng dosis ng isang bakuna.

Dahil ang matematika ang siyang sumusuporta sa halos lahat ng modernong teknolohiya, napilitan ang mga matematiko, lalo na mula noong ika-19 na siglo, na upang tukuyin nang may pinakamataas na katumpakan kung ano ang kanilang naunawaan sa "numero"Hindi sapat ang basta sabihing "ito ang ginagamit natin sa pagbibilang"; kailangan ang isang pormal na kahulugan upang maiwasan ang mga kontradiksyon at pahintulutan ang buong teorya na mabuo nang may katiyakan.

Mayroon bang walang katapusang mga numero, o hindi rin ba iyon gaanong malinaw?

Isa sa mga pinakanakalilitong isyu kapag pinag-uusapan ang pagkakaroon ng mga numero ay ang tema ng kawalang-hangganNakasanayan na nating sabihin na mayroong walang katapusang dami ng mga natural na numero: 0, 1, 2, 3… at iba pa. Ngunit kung tatanggapin natin ito, may ilang kakaibang tanong na lilitaw.

Halimbawa: kung iisipin natin ang "set ng lahat ng numero" at gusto nating pumili ng isa "nang random," ano ang probabilidad na makakuha ng 5? Sa madaling salita, maaari nating sabihin ang ganito 1 hinati sa kawalang-hanggan, na tila seroAt kung ang probabilidad ay sero, maaaring matukso ang isa na sabihin na ang 5 ay "hindi lumilitaw" sa set na iyon, na tila katawa-tawa dahil malinaw na naroon ang 5.

Ang ganitong uri ng pangangatwiran ay naglalarawan ng pagsalungat sa pagitan ng pang-araw-araw na intuwisyon tungkol sa kawalang-hanggan at mahigpit na paraan kung paano tinatrato ang probabilidad at mga walang katapusang set sa matematikaSa teorya ng pagsukat at probabilidad, ang isang bagay na may probabilidad na sero ay hindi nangangahulugang imposible ito; ipinapahiwatig lamang nito na, sa loob ng isang walang katapusang continuum, ang "bigat" nito ay bale-wala. Sa madaling salita, ang ideya na "ang probabilidad na sero = ay hindi umiiral" ay hindi tama sa matematika.

Mula rito ay lumilitaw ang isa pang mas pilosopikal na panukala: marahil ang mga numero ay hindi "ibinibigay" bilang isang kumpletong kawalang-hanggan, kundi sa halip Binubuo natin ang mga ito nang paunti-unti, sumusulong nang walang limitasyon ngunit hindi umaabot sa isang ganap na kawalang-hanggan.Sa madaling salita, ang mga numero ay maaaring maging walang hanggan (maaari tayong palaging magdagdag ng 1), ngunit hindi magkakaroon ng "kabuuan" ng lahat ng mga ito bilang isang bagay na sarado.

Ang posisyong ito ay nauugnay sa nosyon ng mga natural na numero bilang mga bagay na binubuo sa pamamagitan ng sunod-sunod na pagkakasunud-sunod (0, pagkatapos ay ang kahalili nito, pagkatapos ay ang kahalili ng kahalili, at iba pa), na humahantong sa atin sa sikat na Mga aksiom ng Peano teorya ng itinakda bilang pormal na batayan ng modernong matematika.

Mula sa wala hanggang sa sero: mga set, espasyong walang laman, at mga natural na numero

Upang mabuo nang mahigpit ang mga natural na numero, maraming matematiko noong ika-19 na siglo ang umasa sa isang karaniwang wika: ang Itakda ang TeoryaAng ideya ay simple sa hitsura: gumagamit tayo ng "mga set" (mga koleksyon) at "mga elemento" (kung ano ang kabilang sa mga koleksyong iyon) at nagbibigay ng ilang pangunahing aksioma tungkol sa kung paano sila kumikilos.

Isa sa mga pangunahing aksioma ay ang pagpapalawig: Magkapareho ang dalawang set kung mayroon silang eksaktong parehong elementoAng isa pa, ang ispesipikasyon, ay nagpapahintulot sa atin na bumuo ng mga subset mula sa isang kondisyon: kung bibigyan ng isang set na A at isang katangiang T, mayroong set ng lahat ng elemento ng A na tumutugon sa T.

Gamit ang mga kagamitang ito, matutukoy natin ang isang bagay na mahalaga: ang walang laman na set, na siyang set na walang elemento. Maaari itong iharap bilang set ng lahat ng x sa A nang sa gayon ay ang x ≠ x (isang imposibleng kondisyon), kaya walang sinuman ang papasok sa club na iyon. Ang set na ito ay karaniwang tinatawag na 0 at nagiging pundasyon ng pormal na konstruksyon ng mga natural na numero.

Mula roon, maaari nating "pangalanan" ang mga unang numero bilang ilang partikular na set: tinatawag natin ang walang laman na set na 0, ang set na naglalaman lamang ng 0 ay tinatawag nating 1, ang set na naglalaman ng parehong 0 at 1 ay tinatawag nating 2, at iba pa. Ang bawat numero ay binubuo bilang isang set na nangongolekta ng sa lahat ng mga numero sa itaasAng ganitong paraan ng pag-encode ng mga natural na numero (katulad ng panukala ni Frege at kalaunan kay von Neumann) ay nagbibigay-daan sa pag-uugnay ng "less than" na ayos sa pagsasama ng mga set.

Para sumulong, kailangan natin ang union axiom: kung bibigyan ng isang koleksyon ng mga set, mayroong isang set na naglalaman ng lahat ng elemento na kabilang sa kahit isa sa mga ito. At tinutukoy din natin ang kahalili ng isang set A bilang A+ = A ∪ {A}. Ibig sabihin, idinaragdag natin ang set mismo bilang isang bagong elemento, na nagbibigay-daan sa atin na "pataasin" ang numero nang pataas.

Ipinakikilala nito ang konsepto ng hanay ng kahaliliAng isang set na S ay isang successor set kung naglalaman ito ng 0 at, tuwing naglalaman ito ng elementong A, naglalaman din ito ng successor nitong A+. Isang mahalagang aksiom ang nagsasaad na mayroong kahit isang successor set. Kung kukunin natin ang intersection ng lahat ng posibleng successor set, makukuha natin ang pinakamaliit na set na naglalaman ng lahat ng ito: dito mismo "nakapugad" ang set ng mga successor. mga natural na numero, ℕ.

Mga aksioma ni Peano: ang pagtiyak na ang 1 + 1 = 2 ay hindi ganoon kasimple

Kapag natukoy natin ang ℕ bilang ang minimal set na naglalaman ng 0 at stable sa pamamagitan ng sunod-sunod na pagkakasunod-sunod, maaari na nating pag-aralan ang mga katangian nito. Bumuo si Giuseppe Peano ng isang napakaliit na listahan ng mga aksioma sa pagtatapos ng ika-19 na siglo na kumukuha ng ang kakanyahan ng pag-uugali ng mga natural na numero.

Sa isang tipikal na bersyon, simula sa 1 sa halip na 0, ang mga aksioma ni Peano ay nagsasaad, sa malawak na termino, ng mga sumusunod: una, Ang 1 ay isang natural na numeroPangalawa, ang bawat natural na numero ay may kahalili, na isa ring natural na numero. Pangatlo, walang natural na numero ang may 1 bilang kahalili nito (o, sa ibang pormulasyon, ang 0 ay hindi kahalili ng anumang natural na numero). Pang-apat, kung ang isang hanay ng mga natural na numero ay naglalaman ng 1 at isinasara ng pagkakasunod-sunod, kung gayon ay naglalaman ito ng lahat ng natural na numero: ito ang prinsipyo ng inductionPanglima, kung ang dalawang numero ay may parehong kahalili, kung gayon ang dalawang numero ay magkapantay.

Ang mga aksioma na ito, bagama't tila pormal at medyo tuyo, ay sumasaklaw sa mga ideyang ginamit natin nang hindi namamalayan mula pa noong pagkabata. Halimbawa, ang induksiyon ay nagbibigay-daan sa atin na patunayan ang mga katangian ng uri na "lahat ng natural na numero ay nakakatugon sa X" sa pamamagitan ng pagpapatunay na Ang X ay balido para sa una At kung totoo ito para sa isang numero, totoo rin ito para sa kahalili nito. Ito ay isang uri ng lohikal na domino effect.

Mula sa mga aksiom na ito, nahihinuha ang mga pangunahing katangian ng mga natural na numero, tulad ng Walang numero na ang kahalili ay 0o na ang operasyong "kahalili" ay injective (kung ang dalawang numero ay may parehong kahalili, pareho ang numero nila). Pinapayagan din tayo ng mga ito na makilala ang ℕ bilang ang tanging set na nakakatugon sa ilang pinagsamang kondisyon ng sunod-sunod at induction.

Ang pinaka-interesante ay, simula sa lohikal na balangkas na ito at sa nosyon ng kahalili, maaaring mabuo nang mahigpit mga karaniwang operasyon sa aritmetika: pagdaragdag, pagpaparami at mga kapangyarihan, at ipakita ang kanilang mga klasikal na katangian (komutativity, asosiativity, pagkakaroon ng mga neutral na elemento, atbp.) nang hindi umaapela sa "intuitively it was so".

Paano bumuo ng kabuuan, produkto, at mga kapangyarihan sa ℕ

Kapag tinanggap na natin ang mga aksioma ni Peano at maayos na naipaliwanag ang set ℕ, maaari na nating tanungin ang ating mga sarili: paano nga ba natin binibigyang-kahulugan ang mga operasyon tulad ng pagdaragdag, nang hindi ito ipinagwawalang-bahala? Para dito, gumagamit tayo ng isang napakalakas na kagamitan: ang Teorama ng Pag-ulit, na ginagarantiyahan ang pagkakaroon at pagiging natatangi ng ilang partikular na tungkulin na tinukoy nang sunud-sunod sa mga natural na numero.

Ang ideya ay ang mga sumusunod: kung mayroon tayong set na X, isang inisyal na elemento na a sa X at isang function na f: X → X, tinitiyak ng teorama na mayroong isang natatanging function na u: ℕ → X nang sa gayon ay u(0) = ayu(n+) = f(u(n)) para sa lahat ng natural na numerong n. Ibig sabihin, mabubuo natin ang u sa pamamagitan ng paulit-ulit na paglalapat ng f simula sa a, at walang dalawang magkaibang paraan ng paggawa nito na gumagalang sa kahulugang iyon.

Sa paglalapat ng ideyang ito sa mga natural na numero, maaari nating tukuyin ang kabuuan ng isang nakapirming numerong m gamit ang anumang n. Kukunin natin ang X = ℕ, a = m at isang punsiyon na s: ℕ → ℕ na nagmamapa sa bawat na sa kahalili nitong n+. Pagkatapos, ang Recurrence Theorem ay nagbibigay sa atin ng isang punsiyon na S_m: ℕ → ℕ, kung saan ang S_m(0) = m at S_m(n+) = s(S_m(n)). Binibigyang-kahulugan natin ang punsiyon na ito bilang ang kabuuan m + nIbig sabihin, tinutukoy natin ang S_m(n) = m + n.

Sa pormal na kahulugang ito, ang isang bagay na kasingkaraniwan ng 1 + 1 ay nagiging isang maliit na kadena ng mga aplikasyon: 1 + 1 = S_1(1) = S_1(0+) = s(S_1(0)) = s(1) = 2Hindi naman sa hindi alam ng mga matematiko na ang 1 + 1 ay katumbas ng 2, kundi gusto nilang bigyang-katwiran kung bakit, sa loob ng sistemang aksiomatiko, hindi maiiwasan ang pagkakapantay-pantay.

Mula sa kahulugang ito, mapapatunayan ng isa ang mga katangian tulad ng 0 na gumaganap bilang elemento ng pagkakakilanlan para sa pagdaragdag (m + 0 = my, 0 + m = m para sa lahat ng m), na ang pagdaragdag ay commutative (a + b = b + a) at iyon din ay kaakibat ((a + b) + c = a + (b + c)). Ang lahat ng mga patunay na ito ay umaasa sa prinsipyo ng induksiyon at sa pag-uugali ng kahalili.

Ang produkto ay binibigyang kahulugan nang katulad. Itinatakda natin ang isang numerong m, kinukuha natin ang isang punsiyon na P_m: ℕ → ℕ kung saan ang P_m(0) = 0 at P_m(n+) = S_m(P_m(n)). Binibigyang-kahulugan natin ang P_m(n) bilang m × nKaya, halimbawa, ang 1 × 2 ay binuo bilang P_1(2) = P_1(1+) = S_1(P_1(1)) = S_1(1) = 2. Pagkatapos, gamit muli ang induction, ipinapakita ang mga katangian nito: commutativity, associativity, at ang 1 ay ang identity element ng product.

Ang mga kapangyarihan ay binubuo sa pamamagitan ng pagsasagawa ng isa pang hakbang: binibigyang-kahulugan natin ang E_m: ℕ → ℕ na may E_m(0) = 1 at E_m(n+) = P_m(E_m(n)), at isinusulat natin ang E_m(n) = m^n. Mula sa kahulugang ito, ang mga pagkakakilanlan tulad ng m^(n + k) = m^n × m^k, muli sa tulong ng prinsipyo ng induction at ng mga naipakita nang katangian ng produkto.

Ang buong prosesong ito, bagama't pormal at medyo teknikal, ay nagpapakita na ang gusali ng elementaryong aritmetika ay wala "sa hangin," kundi sinusuportahan ng ilang napakalinaw na mga aksioma at ilang lohikal na argumentoMula sa pananaw na ito, ang "pag-iral" ng mga natural na numero ay nangangahulugan na mayroong isang modelo (halimbawa, mga set na binuo mula sa walang laman na set) na tumutugon sa mga aksiom na iyon.

Mula sa mga natural na numero hanggang sa mga integer, mga rasyonal at hindi rasyonal na numero

Kapag ang mga natural na numero ay matatag nang naitatag, hindi doon natatapos ang kwento. Ang mga pang-araw-araw at siyentipikong problema ay nagtutulak sa atin na palawakin ang numerikal na uniberso na itoHalimbawa, sa mga natural na numero, alam lang natin kung paano magbilang at magdagdag, ngunit hindi kung paano magbawas o maghati sa pangkalahatan.

Ang susunod na hakbang ay karaniwang pagpapakilala ng integer na mga numero, na kinabibilangan ng mga natural na numero at ang kanilang mga negatibong bersyon: …, -2, -1, 0, 1, 2, … Sa kasaysayan, ang mga praksyon ay nauna sa mga negatibong numero, ngunit mula sa isang pormal na pananaw, mas mainam na magsimula sa mga integer. Ang isang integer ay maaaring tukuyin bilang isang uri ng katumbas ng mga pares ng mga natural na numero (a, b), kung saan itinuturing nating katumbas ang dalawang pares (a, b) at (c, d) kung ang a + d = b + c. Sa madaling salita, ito ay tumutugma sa pag-iisip ng "ibawas" mula sa − b, bagama't pormal na wala pa ang pagbabawas na iyon sa loob ng ℕ.

Pagkatapos ay ang makatwirang mga numeroAng mga ito ay tumutugma sa mga praksyon na matagal na nating alam. Ginagamit ang mga ito upang sukatin ang mga dami na hindi isang buong bilang ng mga yunit, tulad ng kalahating cake, isang katlo ng isang litro, o tatlong-kapat ng isang oras. Ang isang rasyonal na numero ay karaniwang kinakatawan bilang a/b, kung saan ang a at b ay mga integer at ang b ≠ 0. Sa pormal na paraan, ang bawat rasyonal na numero ay binibigyang kahulugan bilang isang equivalence class ng mga pares (a, b), kung saan ang b ay hindi katumbas ng zero, kung saan ang dalawang pares (a, b) at (c, d) ay magkatumbas kung a·d = b·cIyon ay, kung kinakatawan nila ang parehong proporsyon.

Naniniwala ang mga Pythagorean na "ang lahat ay bilang" sa diwa ng "ang lahat ay makatuwiran," ngunit ang pananaw na ito ay nasira nang matuklasan na ang diagonal ng isang parisukat na may haba ng gilid na 1 (ang square root ng 2) ay hindi maaaring isulat bilang isang fraction ng mga integer. Ipinakita rin kalaunan na Ang π at e ay mga numerong hindi makatwiranIbig sabihin, hindi sila maaaring ipahayag bilang a/b gamit ang mga integer na a at b.

Upang mabuo nang mahigpit ang hindi nakapangangatwiran numero Medyo mas maselan ito. Ang isang eleganteng paraan para gawin ito ay sa pamamagitan ng mga tawag Mga hiwa ng DedekindAng ideya ay isaalang-alang ang ilang mga subset ng mga rasyonal na numero na may isang tiyak na itaas na hangganan. Halimbawa, maaari nating kunin ang hanay ng lahat ng mga rasyonal na numero na ang parisukat ay mas mababa sa 2; ang natural na "cut" nito ay √2, na hindi rasyonal. Sa ganitong paraan, ang bawat angkop na cut ay maaaring tingnan bilang isang tunay na numero, at ang ilan sa mga cut na ito ay hindi tumutugma sa mga rasyonal na numero.

Sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng lahat ng mga rasyonal na numero at lahat ng mga pagbawas na nagbibigay-daan sa mga irrasyonal na numero, binubuo natin ang hanay ng mga totoong numero, ℝSa ℝ matatagpuan ang lahat ng mga numerong ginagamit natin upang sukatin ang mga tuloy-tuloy na magnitude: mga haba, lawak, oras, bilis, atbp. Sa loob ng mga totoong numero ay "naka-embed" pa rin ang mga natural, integer at rational na numero, bawat isa ay may kanya-kanyang interpretasyon.

Isang mabilis na paglilibot sa kasaysayan ng mga sistema ng numero

Ang tanong tungkol sa pagkakaroon ng mga numero ay hindi lamang abstrakto; ito ay makikita rin sa kasaysayan kung paano natuto ang iba't ibang kultura na pagbibilang at pagsulat ng mga damiAng pinakamaagang ebidensya ng pagnunumero ay mula pa noong mga 7000 BC, na may mga marka at buto na ginamit upang mapanatili ang mga simpleng bilang.

Sa sinaunang Ehipto, noong Unang Dinastiya, isang hieroglyphic decimal numbering system ang binuo. Ang bawat kapangyarihan ng sampu ay may kanya-kanyang simbolo, at ang mga ito ay Pinagpangkat nila ang mga elemento sa sampu-sampu.Ginamit ito para sa mga praktikal na gawain tulad ng pagkalkula ng mga buwis, pagsukat ng mga bukid, o pagtatayo ng mga templo.

Sa Mesopotamia, ang mga Sumerian at kalaunan ang mga Babylonian ay gumamit ng sistemang pagnunumero na sexagesimal, ibig sabihin, base 60Ang kasalimuotan nito ay nakasalalay sa napakaraming simbolo at posibleng mga kumbinasyon, ngunit napatunayang lubos itong epektibo para sa astronomiya at pagtukoy ng oras. Sa katunayan, ginagamit pa rin natin ang pamanang iyon ngayon sa oras, minuto, at segundo.

Ginamit ng mga Griyego ang base ten ng Ehipto bilang sanggunian at bumuo ng isang sistema kung saan ginamit nila mga letra ng kanilang alpabeto upang kumatawan sa mga numeroGayunpaman, napatunayang medyo matibay ang sistemang Atik at medyo nilimitahan ang pag-unlad ng mas mataas na aritmetika, bagama't kahanga-hanga ang kinis ng mga Griyego sa heometriya at mga patunay na lohikal.

Ang sistemang Romano, na mas pamilyar sa atin, ay nagtalaga ng mga numerikal na halaga sa ilang mga letra (I, V, X, L, C, D, M). Bagama't mas simple kaysa sa iba sa hitsura, Hindi ito nakaposisyonDahil dito, naging napakahirap ang pagsasagawa ng mga kumplikadong kalkulasyon. Ayos lang ito para sa ilang petsa sa harapan ng isang gusali; hindi naman ganoon kalaki para sa algebra.

Kasabay nito, isang sistemang desimal at posisyonal ang umusbong sa India noong bandang ika-5 siglo BC. Sa sistemang ito, ang halaga ng bawat digit ay nakadepende sa posisyon nito, at ang sampung yunit ng isang order ay katumbas ng isang yunit ng susunod na mas mataas na order. Ang sistemang ito, na tahasang isinama ang sero bilang isang numeroNapatunayan nitong napakalakas at praktikal nito.

Ang mga Arabo, na nakipag-ugnayan sa mga kulturang tulad ng Hindu, Griyego, at Ehipsyo, ang nagpatibay at nagpalaganap ng sistemang ito ng posisyong desimal. Bagama't pinag-uusapan natin ang "mga numeral na Arabo," sa katotohanan Ang pinagmulan nito ay sa IndiaAng mga taong Islamiko ang nagpasa nito sa Europa sa pamamagitan, bukod sa iba pang mga lugar, ng Al-Andalus. Sa paglipas ng panahon, pinalitan ng sistemang ito ang mga Roman numeral at naging pamantayang pandaigdig.

Sa Amerika bago ang panahon ng Columbian, ang kabihasnang Mayan ay nakabuo ng isang napakaunlad na sistemang numerikal, batay sa 20 at gayundin sa posisyon. Bukod pa rito, malinaw nilang kinikilala ang zero. Kinakatawan nila ang mga numero sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga numero. mga tuldok at bar: mga tuldok para sa mga yunit at mga bar para sa pagpapangkat sa lima. Ang kanyang paghawak sa kalendaryo at astronomiya ay kamangha-manghang tumpak.

Pinatitibay ng buong pangkalahatang-ideya ng kasaysayan na, bagama't nagbabago ang mga anyo at tuntunin, Ang pangangailangang bilangin, sukatin, at isaayos ang mundo ay pandaigdigan.Ang mga numero, sa kanilang iba't ibang anyo, ay tila paulit-ulit na lumilitaw saanman mayroong isang sibilisasyon na gustong isaayos ang karanasan nito sa kapaligiran.

Ang mga limitasyon ng sistema: Gödel at pananampalataya sa matematika

Sa pagtatapos ng ika-19 at simula ng ika-20 siglo, maraming matematiko ang naghangad na gawing isang isang ganap na matibay na gusali, walang mga kontradiksyonAng ideya ay upang makahanap ng isang may hangganang hanay ng mga pangunahing aksioma kung saan maaaring mahinuha ang lahat ng iba pang mga resulta ng matematika gamit ang purong lohika.

Ang mga taong tulad ni Henri Poincaré ay nag-aalinlangan at nakita ang ambisyong ito bilang hindi makakamit, habang ang iba, sa pangunguna ni David HilbertTiwala sila na makakamit ang isang perpektong sistemang aksiomatiko para sa aritmetika at, bilang karagdagan, para sa iba pang mga sangay ng matematika.

Pagkatapos ay lumitaw si Kurt Gödel at pinatunayan ang dalawang teorema na nagpabago sa kalagayan magpakailanman. Ang mga unang estado, na lubos na nagpapasimple, na sa anumang sistema ay sapat ang lakas upang maisama ang pangunahing aritmetika (halimbawa, ang Mga aksiom ng Peano), palaging magkakaroon ng mga totoong proposisyon na hindi mapapatunayan sa loob mismo ng sistema. Sa madaling salita: ang aritmetika ay hindi maaaring maging kumpleto at pare-pareho.

Ang pangalawang teorama ni Gödel ay mas nakakabagabag: ipinapakita nito na kung ang isang sistemang aksiomatiko tulad ng sa aritmetika ay pare-pareho (walang mga kontradiksyon), kung gayon Ang pagiging pare-parehong iyan ay hindi maipapakita mula mismo sa loob ng sistema.Kung may magpapatunay na walang mga kontradiksyon sa aritmetika gamit lamang ang mga aksioma at tuntunin nito, nangangahulugan ito, sa kabalintunaan, na ang sistema ay hindi magkakaugnay.

Ang mga konklusyong ito ay minsang binibigyang-kahulugan bilang isang uri ng "cosmic joke": kung lubos tayong umaasa sa matematika bilang ang sukdulang kasangkapan para sa kaalaman, kailangan nating tanggapin na, sa isang tiyak na kahulugan, Dapat din tayong maniwala sa isang bagay na hindi natin kayang patunayan mula mismo sa balangkas ng matematika.Ang "pagkakaroon" ng isang makatwirang sistemang aritmetika, nang walang mga kontradiksyon, ay nangangailangan ng isang minimum na gawa ng pananampalataya.

Kapag pinagsama-sama natin ang buong paglalakbay na ito—mula sa mga simbolo at buto ng Ishango, sa Ehipto, Babylon, India at Maya, hanggang sa teorya ng set, mga aksioma ni Peano, ang mga pormal na konstruksyon ng iba't ibang uri ng mga numero at mga teorema ni Gödel—ang nakikita natin ay ang mga numero ay, kasabay nito, mga kagamitang pantao at nakakagulat na matibay na istrukturaMaaari nating pagtalunan kung sila ba ay "umiiral" bilang mga abstraktong entidad o bilang mga sopistikadong kumbensyon, ngunit malinaw na hinuhubog nila ang ating pag-unawa sa sansinukob at, sa ilang paraan, ay lumalampas sa atin: kahit na tayo ay maglaho, mahirap isipin ang isang kosmos kung saan ang 1 + 1 ay hindi na magiging 2.